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高中數學許多同學困惑的一章節：空間向量，主要是因為空間概念不熟悉造成，以下由GGB製作的空間向量教材，將立體圖形具體展示，降低學習阻礙，非常的棒！

何謂GGB，以下簡介：

GeoGebra 是一個自由、跨平台的數學軟體，它結合了幾何、代數和微積分的功能，用於學習、教學和研究數學。它可以用於繪製圖形、進行計算、探索數學概念等等。GeoGebra 可以在 Windows、Mac、Linux、iOS 和 Android 等多個平台上運行，是一款非常流行的數學軟體之一。


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連結：https://www.geogebra.org/m/W9hqtSmT

國一學生，很基礎的四則運算卻常常一題錯兩三的地方，真是令我百思不得其解，為何這麼容易看錯寫錯！

在經過陪伴和觀察他列式計算的過程，我終於找到了答案，猶如靈光一閃般，發現了原因！



因為他寫字真的太醜了，又常常容易通通黏在一起，當然容易看錯！

因此經過強力邀強修正後，有了明顯的進步，如下：

當家教會一直想竭盡所能讓學生能學到所有的東西，所以不自覺的會講的超快，但這不是好事，因為學生需要時間吸收消化，一次通通塞給他會消化不良，不如上完一小段給他點時間回想看看有沒有問題，才是比較好的作法。

之前因為一直覺得口說不夠好，所以去上線上英語課，課程對我來說有些壓力，需要更多的時間做練習，有種推著我往前走的感覺，念文章給老師聽的時候，真的是大量消耗腦力，又要注意發音，又要理解文意，之後要記憶單字。

這時，我一直看著時間，心裡想著：＂好想下課阿，怎麼還不趕快下課？＂
瞬間，我了解到了我的學生為什麼常常看時間，或者說不要上太久，因為真的好累阿！

其實，當學生也是很辛苦的！就上數學課而言，要理解，吸收消化再應用做練習題，真的是需要時間，學習這事情，真的急不得的。

PS.Cambly建議有中級以上的程度再去上，不然如果外籍老師說明你都聽不懂，不如先去找台灣老師，才不會上的痛苦

常常遇到的學生是這樣的狀況：剛上大學微積分，卻沒有國中基礎，教起來特別辛苦，因為就要幫他從基礎打起，函數、圖形、方程式的概念等等，常常這樣的學生也是學習信心非常的不足，因為從小遇到數學就感覺很困難頭痛，所以一直逃避，長期累積下來的學習狀況就是看到數學就怕。

上週就來了小明(化名)，他就是這樣的狀況，雖然靠著術科推甄上了不錯的大學，但是很怕落後同學們，而且上課微積分又都不懂，剛來找我時，我感覺得出他的無助以及希望自己成長的動力，我們就從基礎的國高中相關知識開始打基礎，像蓋房子一樣，一開始總是很辛苦的，上道哪利相關的知識，就補充先行知識到哪裡，不斷的打地基，就是為了蓋出棟大廈。

跟著他一起努力了一學期後，小明跟我說：＂老師，我漸漸聽懂老師上課在上甚麼了耶！＂，這時我感到十分的欣慰，回他說：＂你看吧，我就跟你說你可以的！＂所有的努力和灌溉的汗水，慢慢地看到了豐收的果實，讓我感覺一切的努力都很值得了。

每當看到新來的學生徬徨無助的神情，我的內心總想對著他說：＂孩子，我陪著你，不用怕，讓我們一起努力，好嗎？＂

學測數學的準備工作至關重要，以下提供幾項建議：

1. 建立推理觀念：循著課本進度，一步步建立正確的推理觀念非常重要。當讀不懂某些概念時，可以翻閱課本或向老師請教。複習講義時，要仔細了解每句話和每行算式的意義，這有助於建立清晰的推理思維。

2. 親自動手演算：數學是需要每天研讀精算，建議每天至少做10題練習題。在練習時，避免盲目作題和鑽牛角尖，而是要以建立基本功為目標。

3. 認真研讀定理：如果不懂某個定理，要立即翻閱課本或複習講義，因為它們都有詳盡的推導和例題。初期可每天從五題開始，持續練習以建立清晰的觀念。

4. 學會多種解法：同一道題目可以有不同的解法，學習多種解法可以拓展思維，同時也有助於應付不同難度的題目。

5. 動手寫題：在寫題時，不要先看答案再算，試著自己先解決問題。如果遇到困難，可以和同學討論，這樣解決問題的印象會更深刻。可以在不會或做錯的題目旁做記號，方便日後再次演算。

6. 推薦學習材料：建議使用課本、複習講義、歷屆試題等學習材料，其中大滿貫複習講義和穩拿講義也是不錯的選擇。

7. 寫題是最好的複習：在複習講義的過程中，當遇到會做的題目，可以看一下詳解如何解題；若解法不同，則代表你學會了新的思路和做法。若做錯了題目，可以訂正並在旁邊打星號，

1.為什麼很認真做題目成績仍然不起色？

A：要看學生如何思考題目，多數學生做了大量題目是希望背算法來面對考試，但是對於基本的定義和觀念了解的不深入，導致無法靈活運用，做一題背一題，只要考卷出現沒有出現過的題目就無法思考、不知所措。

認真思考一題題目，比用背的用猜的寫十題，還要來的有學習效果。所以大多數學學不好的學生是因為沒有經過引導，不知該如何思考數學，不懂得有效的學習數學。


2.所以問題的關鍵是？

A：學生無法的有效學習數學，在學校和補習班獲得的是＂正確解題講述＂，而不是體會＂正確思考的過程＂，或者是＂想錯了該怎麼辦＂。

在家教課程中，我不太會直接給學生答案，而是希望透過對話和他一起討論數學，來釐清學生的概念，和他一起討論他的解題想法，我會問他說：＂這章的概念在說甚麼？＂，＂你會怎麼運用？＂，＂為什麼你想要這樣解？＂，藉此來澄清數學想法。

若學生仍然無法回答，則透過簡化題目來引導學生體會當中的數學觀念。


3.為甚麼跟思考方式有關？

A：學數理的訣竅在於：觀察、思考、推理、歸納，數學的知識需要學生自己想過、算過才能內化成自己的想法，若僅有講解給學生聽，就如同聽講的吸收度僅兩成，對於他的主動學習和思考幫助有限。


4.所以數學學不好就只跟思考方式有關嗎？

A：大多的學生學習到正確學習數學的方法都很願意改變，因為想的越多、觀念越通學起來流暢很多。而另外有時學生並非不願意思考，而是預備知識不足沒學好，例如學一元二次方程時，配方法不熟悉，則須透過老師補強之前的數學觀念才能讓目前章節學習順利。


5.對您來說的數學思考是甚麼？

A：因為學生不熟悉正確的思考方式，我會循序漸進的分成三個層次引導學生做訓練，通常第一層就會對學生產生效果。熟悉第二層則運算量會大量減低，思考分析力會極強。熟悉第三層時則會融會貫通數學原理、靈活運用。


第一層：題目問甚麼，思考提供哪些條件？我已經知道的方法有哪些，為什麼要這樣用？

第二層：面對問題我知道了很多種方法，我要怎麼選擇哪一種策略？

第三層：為什麼要這樣定義？甚麼時候可以用？甚麼時候不能用？


6.您課程的內容和補習班有甚麼不同？

A：學生需要有基本運算和算法的熟練，才能夠真正的學會解題策略的運用。而課程上大多時後，我會希望學生多想多思考，透過佈題來引導學生觀察題目，分析題目，透過簡化來讓學生思考題目，和學生討論來推論解題流程、歸納解法。達到最大的學習成效、有效的學習數學。

7.學生程度很差，有辦法學嗎？

A：老師會視學生的程度來安排課程，規劃適合學生的學習步驟，若需補足預備知識就會視情況做補充，不用擔心！

身體不適到了醫院，才發現科目分得很細，骨科和耳鼻科的醫師不一樣，而不知道甚麼症狀時要先看家庭醫學科。為什麼需要分那麼多科？因為術業有專攻，累積經驗不容易。

同樣的，有時候會遇到家長問我，全科型的家教是否存在？我會回答，有，不是很貴，不然就是陪讀的。

意思就是科目越多代表老師要準備得越多，才能提供學生越好的引導，引導是需要日積月累的經驗，若沒有薪資的誘因，為什麼老師需要準備那麼多？

（回答有，是因為真的有少數專攻美國學校的家教老師，會準備全科，他們很專業但也很貴，而且時段都已經滿了。）

那麼會遇到的便宜又全科的老師會是？

我的一位家長跟我說，她之前請了五科都會教且二十年經驗的老師，而且價格還很便宜，結果就是：不專業。

她說：我懷疑她是騙子，學歷是假的。我就看她學歷是頂大而且又二十年經驗。

我說：那為什麼那麼便宜？
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工作的原則：工作越困難，價值越高，薪水越高，不然就找不到人。全能型的人才，不是貴，就是全不行。

同樣的，家教老師也是一種職業，數學家教是一種專業。

小李（化名）是國二才來找我的學生，因為換過很多位家教老師，成績都無法提升，所以爸爸很緊張很擔心未來會考成績，透過介紹找上了我。

因為小李在學習過程中，一直很散漫提不起勁，對於引導思考很排斥，堅信數學就是要背解法、才能快速解題。我嘗試讓他體會理解後推導的解法，並給予鼓勵，他漸漸開始感到疑惑，到底學校老師是對的，還是家教老師是對的？

於是，在休息的談話間，我習慣性地和他談到學校的讀書氣氛，對學校老師的看法等等。小李學校是學費很貴的私立國中，學校老師則是網羅各補習班名師、或者學校資優班老師，就像武陵高中的資優班老師等。

小李：我們數學老師是武陵資優班的老師，被網羅來我們學校，他都說要快速套公式解題才快。

我：但是沒有理解思考的套公式，很容易錯。

小李：學校老師說，只有把公式背熟能快速套用，才是贏家，其他的都是輸家，因為太慢了。而我上次因為算三角形時海龍公式不會用，就被老師笑說是輸家。對了老師，你可以教我海龍公式嗎？(感覺小李心中很挫折，又很沒面子)

我：但是其實國中沒有教海龍公式，也不需要海龍公式就能解題。而我的成功高中學生，他在國中也沒被過海龍公式，但學測還是考14級分(剛考完學測)。

小李：你怎麼和我學校老師說的不一樣，那我要相信誰的？

我：背套能解的題目會非常有限，而且還很容易錯。

在之後的課程中，我漸漸透過佈題、引導、鼓勵，讓小李體會，了解思考才是學習數學的正途，也才能用一個觀念解各種題目，背題型解法雖然快，但會有無限的題型要背，且容易混淆(因為沒有思考過)。
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想了想近年帶過的私立國中學生們，其實理解力都在中上以上的程度，但卻對於數學一點信心都沒有，都只跟我說學校教很快、又很難。

在私立國中學校很現實的，學生的成績就是學校老師的業績。所以老師上課就能快就快，希望學生能快速吸收，六學期的課程趕在五學期上完，再用大量的練習，壓出成績來，如果不服從的學生，就會像小李一樣，不斷的罰寫。

學校的課程內容，小李說學校老師只教難的就不要寫基礎的，因為會寫難的就會寫基礎的了，寫基礎的根本浪費時間！

但這跟我的教學理念完全相反，因為這等於是放棄中上程度以下的孩子，只抓著上上程度以上的學生往前衝。但現實中有多少孩子能過跳級學習呢？有很多的學生只要給他踏階，他就學會了，為什麼要要求每個人都能一步登天？

這樣狀態的學生，到面對大考前，家長找家教老師時，才會發現問題很嚴重，在於這樣的學習方式，學生都沒有理解思考過數學知識，反而把數學當作背誦科目一樣，所以面對變化活用題就不會寫了(反而是目前大考的方向)，會寫的題型非常的有限。

以下整理成表格，供家長們參考，關於數理科目，建議不要讀私立的原因。

有家長說：老師您才是不適合教私立學生，能背就背讓他能快速拿到成績就好了！

我：在一般的難度的考券之中，用背套的方法，可以拿到40-60分的基本分；用背套和多想一點，可以拿到60-70分；用背套、畫圖與多思考，可能拿到70-80分以上。為了讓學生能更上層樓，我鼓勵孩子背套完，要想想怎麼套用，甚麼時候能用與不能用。

思考是辛苦的，也是值得的。